Legendre Generator Function dalam Ekspansi Multipole

Seusai dengan apa yang telah kita post sebelumnya tentang fungsi pembangkit legendre, maka kita akan mencoba untuk mengaplikasikannya ke kasus listrik - magnet (Elektrodinamika). Berikut ini adalah kasus ekspansi Multipole. Asumsikan ada dua buah muatan yang besarnya sama dan membentuk dipoleh seperti gambar di bawah ini. Bagaimana potensialnya di suatu titik??

Potensial di P dapat dituliskan dengan mudah menggunakan superposisi antara V1 dan V2 seperti persamaan berikut ini :

dengan menggunakan aturan cosinus dalam trigonometri, maka akan didapatkan bahwa :

Lalu akan didapatkan bahwa nilai r1 dan r2 akan mengikuti bentuk seperti berikut :

dengan kemudian memasukkan nilai r1 dan r2 ke dalam persamaan V total di P maka akan diperoleh bahwa bentuk rumusan potensialnya akan menjadi :

Bentuk tersebut dapat memenuhi legendre generated function dengan : h = a/r dan x1 = cos theta 1 dan x2 = cos theta 2, sehingga didapatkan :

apa yang telah kita buktikan ini adalah bagaimana cara mengubah kasus dipole mejadi ekspansi multipole dan ini adalah aplikasi dari legendre generated function yang diterapkan pada kasus elektrodinamika.

Bandung 8 Februari 2017

Deriyan Senjaya

Legendre Generator Function (Fungsi Pembangkit Legendre)

Kali ini kita akan membahas mengenai topik fisika matematika dan topik yang akan dibahas adalah topik mengenai fungsi pembangkit legendre (legendre generated function). Apa sih itu? dan apa sih penerapan yang bisa didapatkan daripada perumusan tersebut?. 

Legendre Generated Function adalah suatu fungsi yang berguna untuk menyatakan suatu fungsi tertentu ke dalam kombinasi linear daripada polinomial - polinomial legendre. Apa itu polinomial legendre? polinomial legendre adalah polinomial yang mana didapat dari solusi persamaan differensial khusus legendre (dengan aproksimasi frobenius method) dan pada akhirnya dibuat menjadi lebih elegan dengan rekursif yang dituliskan dalam rumusan rodriguez.

Lalu fungsi apa sih yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari polinomial Legendre (Legendre Generated Function) ?? Berikut ini adalah uraiannya :

Bentuk di atas adalah bentuk fungsi yang dapat dibentuk dalam fungsi pembangkit legendre, dan apakah fungsinya dalam kajian fisika? tentunya ini sangat berguna seperti contoh dalam listrik-magnet (Elektrodinamika) ketika kita berhadapan dengan sistem dipole. Bagaimana contohnya, cek posting berikutnya yah, thank you ^_^

Bandung, 8 Februari 2017

Deriyan Senjaya